martes, 30 de octubre de 2012

Temas Del Año


  • Números Complejos

  • Operaciones De Números Complejos

  • Sistema De Ecuaciones Linealeales

  • Método De Reducción Sustitución E Igualación Del Sistema De Ecuaciones Lineales

  • Determinantes

  • Regla Carmer

  • Ecuaciones Lineales

  • Ecuaciones Cuadraticas

Números Complejos

NÚMEROS COMPLEJOS:


Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa como \scriptstyle \mathbb{C}, siendo \scriptstyle \mathbb{R} el conjunto de los reales se cumple que \scriptstyle \mathbb{R}\sub\mathbb{C}. Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i).
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números complejos se utilizan por doquier matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

Ejemplos:
  • Suma
(a, b) + (c, d) = (a+c,\, b+d)
  • Producto por escalar
r(a, b) = (ra,\, rb)
  • Multiplicación
(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc)
  • Igualdad
(a, b) = (c, d) \iff a = c \and b = d

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Operaciones De Números Complejos

OPERACIONES DE NÚMEROS COMPLEJOS:

En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial eintegral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.

números complejos en la forma binómica

Suma y diferencia de números complejos

La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

(5 + 2 i) + ( − 8 + 3 i) − (4 − 2i ) =

= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

Multiplicación de números complejos

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1.

(a + bi) · (c + di) = (acbd) + (ad + bc)i

(5 + 2 i) · (2 − 3 i) =

= 10 − 15i + 4i − 6 i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

División de números complejos

El cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de éste.

cociente

división
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Ejemplos:



   (a + bi) + (c + di) =
   (a + c) + (b + d)i \,
Ejemplo de suma:

   (4 + 2i) + (3 + 2i) =
   4 + 2i + 3 + 2i =
   4 + 3 + 2i + 2i =
   (4 + 3) + (2 + 2)i =
el resultado es 7 + 4i

Al igual que en la suma, se opera como con los números reales ordinarios:

   (4 - 2i) - (3 + 5i) =
   
   (4 - 3) + (-2i - 5i) =
   (4 - 3) + (-2 - 5)i =
   1 - 7i  \,
:

   (6-4i) - (6+5i) =

   (6-6) + (-4i-5i)=
   0 - 9i =
   -9i \,

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Sistema De Ecuaciones Lineales

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES:


En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo
Ejemplo:
Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

    \left \{
        \begin{array}{rcrcrcr}
             3 \,x_1 & + & 2\,x_2             & + &   \,x_3 & = & 1  \\
             2 \,x_1 & + & 2\,x_2             & + & 4 \,x_3 & = & -2 \\
             - \,x_1 & + & \frac{1}{2} \,x_2  & - &   \,x_3 & = & 0
        \end{array}
    \right .



   \begin{matrix}
      a_{11}x_1 & + a_{12}x_2 & + \dots & + a_{1n}x_n & = b_1 \\
      a_{21}x_1 & + a_{22}x_2 & + \dots & + a_{2n}x_n & = b_2 \\
      \dots     & \dots       & \dots   & \dots       & \dots \\
      a_{m1}x_1 & + a_{m2}x_2 & + \dots & + a_{mn}x_n & = b_m
   \end{matrix}

Tipos De Sistema:


  • Sistema incompatible si no tiene solución.
  • Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre:
    • Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.
    • Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
Quedando así la clasificación:

   \mathrm{Tipos \; de \; sistemas}
   \begin{cases} 
      \mathrm{Compatible} 
         \begin{cases}
            \mathrm{Determinado}\\
            \mathrm{Indeterminado}
         \end{cases}\\
      \mathrm{Incompatible}
   \end{cases}


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Metodo De Reducción Sustitución E Igualación Del Sistema De Ecuaciones Lineales

MÉTODO DE REDUCCIÓN SUSTITUCIÓN E IGUALACIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES:


El último de los métodos analíticos que vamos a aprender a utilizar en esta Unidad para resolver sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas es el método de reducción. En resumen, consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por algún(os) número(s) de forma que obtengamos un sistema equivalente al inicial en el que los coeficientes de la x o los de la y sean iguales pero con signo contrario. A continuación se suman las ecuaciones del sistema para obtener una sola ecuación de primer grado con una incógnita. Una vez resuelta esta, hay dos opciones para hallar la otra incógnita: una consiste en volver a aplicar el mismo método (sería la opción más pura de reducción); la otra es sustituir la incógnita hallada en una de las ecuaciones del sistema y despejar la otra. Veamos el proceso por fases.

Se multiplican las ecuaciones por los números apropiados para que, en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales pero de signo contrario,
Se suman ambas ecuaciones del nuevo sistema, equivalente al anterior.
Se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.
Para este paso hay dos opciones:
Se repite el proceso con la otra incógnita.
Se sustituye la incógnita ya hallada en una de las ecuaciones del sistema y se despeja la otra.

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES:

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas podemos utilizar uno de los siguientes métodos:
  1. Sustitución
  2. Igualación
  3. Reducción
RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓNSea el sistema 
Primero en una de las ecuaciones se halla el valor de una de las incógnitas. Hallemos la y en la primera ecuación supuesto conocido el valor de x
y=11-3x
Se sustituye en la otra ecuación el valor anteriormente hallado
5x-(11-3x)=13
Ahora tenemos una ecuación con una sóla incógnita; la resolvemos
5x-11+3y=13

5x+3x=13+11
8x=24
x=3

Ya conocido el valor de x lo sustituimos en la expresión del valor de y que obtuvimos a partir de la primera ecuación del sistema
y=11-3x

y=11-9
y=2


Ejemplos:

SISTEMAS DE ECUACIONES

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Determinantes

DETERMINANTES:

En Matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

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Ejemplos:

Los Determinantes son un tipo de Adjetivos que acompañan a los sustantivos o nombres de forma que: 
  • delimitan el significado de dichos sustantivos
  • e indican su género número
Propiedades de los Determinantes:

Los Determinantes poseen las siguientes propiedades:
  • Los Determinantes coinciden siempre en el género y en el número con el sustantivo o nombre al que acompañan.
  • Los Determinantes pueden situarse tanto delante como detrás del sustantivo o nombre al que acompañan:
  • Esta mesa - La mesa esta
  • Los Determinantes poseen género (tanto masculino como femenino) y también número (tanto sigular como plural):
  • Esta (Femenino singular) - Estas (Femenino plural) 
  • Este (Masculino singular) - Estos (Masculino plural)

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Regla De Cramer

REGLA DE CRAMER:


La regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en suTreatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729).1
La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.
Si \mathbf{Ax} = \mathbf{b} es un sistema de ecuaciones. \mathbf{A} es la matriz de coeficientes del sistema, \mathbf{x} = (x_1,\dots,x_n) es el vector columna de las incógnitas y \mathbf{b} es el vector columna de los términos independientes. Entonces la solución al sistema se presenta así:

   x_j =
   \cfrac {
      \det(\mathbf{A}_j)
   }{
      \det(\mathbf{A})
   }
donde \mathbf{A}_j es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima columna de \mathbf{A} por el vector columna \mathbf{b}. Hágase notar que para que el sistema sea compatible determinado, el determinante de la matriz \mathbf{A} ha de ser no nulo.

Ejemplos:

   \begin{cases} 
      a{\color{blue}x} + b{\color{blue}y} = {\color{red}e}\\ 
      c{\color{blue}x} + d{\color{blue}y} = {\color{red}f}
   \end{cases}
Lo representamos en forma de matrices:

   \begin{bmatrix}
       a & b \\
       c & d 
   \end{bmatrix}
   \begin{bmatrix}
      {\color{blue}x} \\
      {\color{blue}y}
   \end{bmatrix}=
   \begin{bmatrix}
      {\color{red}e}  \\
      {\color{red}f}
   \end{bmatrix}
Entonces, x e y pueden ser encontradas con la regla de Cramer, con una división de determinantes, de la siguiente manera:

   x =
   \frac {
      \begin{vmatrix}
         \color{red}{e} & b \\
         \color{red}{f} & d
      \end{vmatrix}
   }{
      \begin{vmatrix}
         a & b \\
         c & d
      \end{vmatrix}
   } = 
   \frac{
      {\color{red} e } d - b {\color{red} f }
   }{
      ad - bc
   }; \quad
   y =
   \frac {
      \begin{vmatrix}
         a & \color{red}{e} \\
         c & \color{red}{f}
      \end{vmatrix}
   }{
      \begin{vmatrix}
         a & b \\
         c & d
      \end{vmatrix}
   } = 
   \frac{
      a{\color{red} f } - {\color{red} e } c 
   }{
      ad - bc
   }



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Ecuaciones Lineales

ECUACIONES LINEALES:

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.
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Ejemplos:

 y = m \cdot x + b \; ;

 3x + 2y = 5 \,
 3x + y -5 = -7x + 4y +3 \,
 x - y + z = 15 \,
 3x - 2y + z = 20 \,
 x + 4y - 3z = 10 \,
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Ecuaciones Cuadraticas

ECUACIONES CUADRÁTICAS:


Una ecuación cuadráticas.a es de la forma: ax2+bx+c=0, donde a, b y son constantes reales y ¹ 0.Para resolverla existen diferentes métodos, los cuales revisaremos a través de algunos ejemplo
1. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
i.- Por factorización:
Resolver la ecuación: x2 - 12x - 28 = 0
Factorizamos el trinomio recordando el producto de binomios con un término común, es decir, buscando dos números cuyo producto sea –28 y cuya suma sea –12; estos números son -14 y 2, y la factorización es:
(- 14)(x + 2) = 0
Por lo tanto, las soluciones son X1 = 14 y X2 = -2
ii.- Utilizando la fórmula de resolución: 
Para resolver la ecuación cuadrática: ax2+bx+c=0, podemos utilizar la fórmula:
Fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas.
Ejemplos:
9x2 + 6x + 10         a = 9, b = 6, c = 10
3x2  - 9x                 a = 3, b = -9, c = 0
-6x 2 + 10              a = -6, b = 0, c = 10 

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